Implicações e equivalências

Implicações e equivalências.

Implicação: Sejam P e Q Proposições¹. Dizemos que P implica em Q (P=>Q) se e somente se P -> Q for Tautologia².
Exemplo: p^q => p
Sejam: P: p^q e Q: p
Para que P => q então P -> Q deve ser tautologia, ou seja:
p^q -> p deve ser tautologia.

Equivalência: Sejam P e Q proposições. Dizemos que P é equivalente a Q (P<=>Q) se e somente se P<->Q for Tautologia. Dizemos tambem que se P<=>Q então P é igual a Q.
Exemplo: p^q <=> p
Sejam: P: p^q e Q: p
para que p <=> q então P<->Q deve ser tautologia, ou seja:
p^q <-> p deve ser tautologia.

Para não precisarmos fazer tabela-verdade toda vez que quisermos provar uma equivalência, temos a seguinte lista de equivalências com 19 equivalências que já foram testadas e afirmadas como sendo todas verdadeiras:

Lista de Equivalências básicas:

1- p^p <=> p

2- p^q <=> q^p

3- p^(q^r) <=> (p^q)^r

4- p^(q v r) <=> (p^q) v (p^r)

5- p^tautologia <=> p

6- p^contradição³ <=> contradição

7- p^~p <=> contradição

8- p v p <=> p

9- p v q <=> q v p

10- p v (q v r) <=> (p vq) v r

11- p v (q^r) <=> (p v q) ^ (p v r)

12- p v tautologia <=> tautologia

13- p v contradição <=> p

14- p v ~p <=> tautologia

15- p -> q <=> ~p v q

16- p<->q <=> (p->q)^(q->p)

17- ~(~p) <=> p

18- ~(p^q) <=> ~p v ~q

19- ~(p v q) <=> ~p^~q





Proposições¹: É todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo (tambem chamada de sentença).

Tautologia²: É toda proposição cujo o valor lógico é sempre e todo verdadeiro.

Contradição³: É toda proposição cujo o valor lógico é sempre e todo falso.